2018年中考山东菏泽第23题——倒二压轴（四边形、相似与操作探究）

 本文内容转载自林玲老师的公众号”霁景“的文章，扫描下列二维码关注.

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2018年山东菏泽第23题

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问题情境：

在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量得AB＝2cm，AC＝4cm．

操作发现：

（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是________．

（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG、C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论．

实践探究：

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连接CC′，试求tan∠C′CH的值．

（1）由∠BAC＝∠AC′D得AC∥EC′，又AC′∥CE，∴四边形ACEC′为平行四边形，∵AC＝AC′，∴□ACEC′是菱形；

（2）由对角线互相平分可得四边形ACGC′是平行四边形，再证∠CAC′＝90°，从而□ACGC′是矩形，又AC＝AC′，

∴矩形ACGC′是正方形．

（3）由平移或Rt△A′BC≌Rt△BDC′，得BC′⊥A′C．再由勾股定理计算相关线段长度，在Rt△A′BC中利用面积法或Rt△A′BC∽Rt△A′HB，进一步求得CH、C′H的值，即可在Rt△C′CH中求tan∠C′CH的值．

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解答过程

解：（1）菱形．

（2）证明：

∵点F是CC′的中点，

∴CF＝FC′．

∵FG＝AF，

∴四边形ACGC′是平行四边形．

∵在Rt△ABC和Rt△ACD中，

∠BAC＋∠ACB＝90°，∠ACB＝∠DAC′，

∴∠BAC＋∠DAC′＝90°．

又∵B、A、D三点在同一条直线上，

∴∠CAC′＝90°，

∴□ACGC′是矩形．

∵AC＝AC′，

∴矩形ACGC′是正方形．

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(别忘了给作者一个鼓励，点个赞哦！)

1）特殊四边形中的直角出现，一般可以用到一线三直角的模型进行解题，全等与相似蕴含其中；

2）涉及到直角三角形的计算，勾股定理与相似（或三角函数）带来的对应边比例关系是很好用的工具，要想到哦。

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